Question

题目：已知不等式x的平方-2ax+2＞0对x属于[-1，2]恒成立，求实数a的取值范围 。

我不太清楚分情况讨论后最后的答案怎么取

Answer 1

解：x²-2ax+2＞0

令f(x)=x²-2ax+2=（x-a)²-a²+2
则：f(a)=2-a²，f(-1)=3+2a，f(2)=6-4a.对称轴x=a.
若f(x)＞0对于x∈[-1,2]恒成立，
即当x∈[-1,2]时，令fmin＞0即可。

根据对称轴和闭区间[-1,2]的位置关系，进行分类讨论：
①若a≤-1,f(x)在x∈[-1,2]单调递增，即fmin=f(-1)=3+2a＞0，解得，a＞-3/2，即：a∈(-3/2,-1]
②若-1＜a＜2，同理可知，fmin=f(a)=2-a²＞0，解得：-√2＜a＜√2，即：a∈(-1,√2)
③若a≥2，同理可知，fmin=f(2)=6-4a＞0，解得：a＜3/2，不合题意，舍去。

综上所述，a∈(-3/2,√2].