Question

怎么证明幂等矩阵（A^2=A）的特征值只能为0或1

Answer 1

具体回答如图：

若A为方阵，且A²=A，则A称为幂等矩阵。例如，某行全为1而其他行全为0的方阵是幂等矩阵。实际上，由Jordan标准型易知，所有幂等矩阵都相似于对角元全为0或1的对角阵。

扩展资料：

如将特征值的取值扩展到复数领域，则一个广义特征值有如下形式：Aν=λBν

其中A和B为矩阵。其广义特征值（第二种意义）λ 可以通过求解方程(A-λB)ν=0，得到det(A-λB)=0（其中det即行列式）构成形如A-λB的矩阵的集合。

若A是幂等矩阵，则与A相似的任意矩阵是幂等矩阵；若A是幂等矩阵，则A的AH、AT、A*、E-AH、E-AT都是幂等矩阵。

若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定。反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。

参考资料来源：百度百科——幂等矩阵

Answer 2

设出特征值和特征向量

利用定义和题目条件变形

得到关于特征值的方程

解出特征值只有0和1两个值

 

过程如下图：

 

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示