Question

在三棱锥A-BCD中，AB=AD=2，BC=CD=2，AD和BC成90°角，E、F分别为AB、DC的中点，求AB和CD 所成的角及EF长

Answer 1

大概画了个示意图。先求EF，比较容易。

取AC中点G，连接FG、EG，

∵G、F分别为CA、CD中点

∴GF//AD 且GF=1/2AD=1（要证明的话，相似，很容易）

同理GE//BC GE=1

∵AD⊥BC

∴GF⊥GE，即△GEF为直角三角形

∴EF=根号2（勾股）

第二步，分别取BC、AD中点记为I、H，（如图该连的都连起来。。。）

由题意，△BAC△DAC为等腰三角形，又G为AC中点，

故，BG⊥AC、DG⊥AC，

∴AC垂直于平面GBD

∴AC⊥BD

（然后跟第一部分一样）

∵FI//BD、FH//AC

∴FI⊥FH

∵EH//BD，FH//AC

∴EH⊥FH

∴EH平方+FH平方=EF平方=2

又∵EH=1/2BD=FI

∴FI平方+FH平方=2=HI平方，即HI=根号2

∵GH=GI=1

∴GH平方+GI平方=HI平方，即GH⊥GI

∵GH//CD，GI//AB

∴AB⊥CD