Question

已知线段AC与BD相交于点O，连接AB.DC.E为OB的中点，F为OC的中点，连接EF

添加条件：∠A=∠D,∠OEF=∠OFE，求证：AB=DC

Answer 1

如图，线段AC与BD相交于点O，E、F分别为OB、OC的中点，连接AB、DC、EF分别将“∠A=∠D”记为①，“∠OEF=∠OFE”记为②，“AB=DC”记为③，要求同学从这三个等式中选出两个作为条件，一个作为结论．（在横线上填上序号）
（1）写出一个真命题：如果 ①、 ②，那么 ③．并证明这个真命题；
（2）写出一个假命题：如果 ②、 ③，那么 ①．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题；开放型．分析：（1）由①②可推得△OAB≌△ODC（ASA），可得③结论．
（2）由②③能得到AB=CD，OB=OC，但不能证得△OAB≌△ODC，不能得到①中结论．解答：解：（1）①②→③或①③→②；
①②→③
证明如下：
∵∠OEF=∠OFE
∴OE=OF，
∵E、F分别为OB、OC的中点
∴OB=OC，
在△OAB与△ODC中：
∵∠A=∠D，∠AOB=∠DOC，OB=OC，
∴△OAB≌△ODC（ASA），
∴AB=DC．
①③→②
证明如下：
∵∠A=∠D，AB=DC，∠AOB=∠DOC，
∴△OAB≌△ODC，
∴OB=OC，
∵E、F分别为OB、OC的中点，
∴OE=OF，
∴∠OEF=∠OFE．

（2）②③不一定推得①结论．由②③能得到AB=CD，OB=OC，但不能证得△OAB≌△ODC，不能得到①中结论．点评：本题主要考查三角形全等的判定，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．

Answer 2

三角形ABO相似于三角形CDO又因为三角形OEF为等腰三角形，所以OE=OF=EB=CF所以OB=OC所以三角形ABO全等于三角形CDO所以AB=CD

Answer 3

证明：因为 角OEF=角OFE 所以 OE=OF 又因为BO=2EO，CO=2FO 所以 BO=CO 在三角形AOB和三角形DOC中 角A= 角D 角AOB= 角DOC BO=CO 所以 AOB 全等于DOC（AAS） 所以 AB=DC