Question

在三角形ABC中,角a,b,c所对的边分别为a,b,c,cos2C+2√2cosC+2=0

在三角形ABC中,角a,b,c所对的边分别为a,b,c,cos2C+2√2cosC+2=0
（1）求角C的大小；
（2）若b=√2a，三角形ABC的面积为√2/2sinAsinB，求sinA及c的值。

Answer 1

(1)cos2C+2√2cosC+2=0

2(cosC)^2-1+2√2cosC+2=0

2(cosC)^2+2√2cosC+1=0

(√2cosC+1)^2=0

所以cosC=-√2/2

所以C＝135度。

(2)由（1）知A+B＝45度
由正弦定理得a/sinA=b/sinB
所以asinB=bsinA=√2asinA

所以sinB=√2sinA
所以sin(π/4-A)=√2sinA

√2/2cosA-√2/2sinA=√2sinA

sinA=(1/3)cosA
又(sinA)^2+(cosA)^2=1
得10(sinA)^2=1
所以sinA=√10/10

S＝(1/2)bcsinA=√2/2 sinAsinB

所以bc=√2sinB
又b/sinB=c/sinC
所以b=csinB/sinC
所以csinB=√2sinBsinC

所以c=√2sinC=√2*(√2/2)=1

即c=1.

Answer 2

cos2C+2√2cosC+2=0
2（cosC）^2+2√2cosC+1=0
(√2cosC+1)^2=0
√2cosC+1=0
cosC=-√2/2
C=3π/4
2)c^2=a^2+b^2-2abcosC=a^2+b^2+√2ab=a^2+b^2+2a^2=3a^2+2a^2=5a^2
c^2=5a^2
(c/a)^2=(sinC/sinA)^2=5
(sin3π/4/sinA)^2=5
(sinA)^2=1/10
sinA=√10/10
S＝(1/2)bcsinA=√2/2 sinAsinB
bc=√2sinB
又b/sinB=c/sinC
b=csinB/sinC
csinB=√2sinBsinC
c=√2sinC=√2*(√2/2)=1
c=1.