Question

函数的有界性是不是指函数无限趋近于一个常数？ 有上界或下界都可以叫有界？ 那么为什么极限的性质一

函数的有界性是不是指函数无限趋近于一个常数？ 有上界或下界都可以叫有界？
那么为什么极限的性质一：唯一性 说 若数列极限或函数极限存在 则必唯一
如果函数或数列有上下界 它的极限不就有两个了吗？怎么唯一？
极限和有界有区别吗？

Answer 1

函数的有界性，无需函数无限趋近于某个常数。
例如函数f（x）=sinx，当x→∞时，这个函数并不趋近于任何常数，但是这个函数有界。
第二，函数有界和函数有极限完全是两个不同甚至没多大关联的概念，就算是说x→∞的过程中，有极限不代表有界，有界不代表有极限。
例如函数f（x）=1/x，这函数在x→∞时，极限为0，但是这个函数在实数范围内无界。
而刚才说了，正弦函数，还有余弦函数，在x→∞时，没有极限，但是在实数范围内有界。
所以不知道你为什么把这两个概念扯到一起。

追问

arctanx不就是有两个极限 那为什么极限有唯一性

追答

你看看极限的定义，x→∞时，函数有极限，必须要函数在x→+∞和x→-∞都有极限，且相等，才能说是x→∞时，有极限。
因此对于arctanx，当x→+∞，函数趋近于π/2

当x→-∞时，函数趋近于-π/2
两者不相等。这个在函数极限中进行了规定和说明，极限规定中明确说明了，诸如arctanx这样当x→+∞和x→-∞时极限不相同的，必须说当x→∞时，arctanx的极限不存在。而π/2和-π/2只能作为arctanx单边极限存在，两个单边极限相等，才能说极限存在，不相等则极限不存在。这点就和分段函数的分段点处的极限一样，如果左极限和右极限不相等，我们不是说在这点有两个极限，而是说没极限。

追问

知道了 非常感谢

Answer 2

你再去看看有界的定义

追问

要同时有上下界？

极限为什么一定唯一呢