Question

已知函数f(x)=x^2-2ax+a在区间(-无穷，1)上有最小值，则函数g(x)=f(x)/x在区间(1,+无穷)上一定

A有最小值
B有最大值
C是减函数
D是增函数 √ 具体分析过程是什么？为什么有最小值就要对称轴小于等于一？对称轴大于一也有最小值啊？

Answer 1

解：应选D，解答如下：
由于已知函数f(x)=x^2-2ax+a在区间(-无穷，1)上有最小值，注意是开区间而不是闭区间，故对称轴一定在该开区间内，即a<1，否则无最小值；
又g（x）=f（x）/x = x + a/x - 2a，
（1）在x>0，a>0时，该g（x）函数图像为V形，最小值由基本不等式可知
g（x）= x + a/x - 2a
>=2√(x * a/x) -2a
=2√a -2a
当且仅当x = a/x即x = √a时取到，而此时x=√a <1，故在（1，+∞）上为单调增函数，且无最值（当然你也可以用导数来做）；
（2）在x>0，a<=0时，
g（x）= x + a/x -2a，函数y=x-2a与y=a/x均为增函数，两个增函数相加所得的新函数g（x）显然也是增函数，而且在（1，+∞）上无最值。
综上故选D。

Answer 2

解：
f(x)=x^2-2ax+a在区间(-无穷，1)上有最小值
说明对称轴x=a < 1
g(x)=x+a/x-2a
a>0 x递增，
a=0 递增
a<0 递增
选择D
排除a是因为在1处取不到。

Answer 3

已知函数f(x)=X^2-2ax+a在区间（负无穷大，1）上有最小值，所以a>=1,所以g(x)=f(x)/x=x+a/X-2a在（1，正无穷大）上一定是递增的