Question

y=|sinx|+|cosx|的单调递减区间是

Answer 1

设f（x）=|sinx|+|cosx|，f（x+π/2）=|sinx|+|cosx|，知f（x）=f（x+π/2），于是周期为π/2
故只需画出【0，π/2】图像。
1、当x∈（0，π/4），sinx和cosx均大于0；此时f（x）=|sinx|+|cosx|=sinx+cosx=√2sin（x+π/4）
于是f（x）在x∈（0，π/4）可以画出来，是单调递增的。
2、当x∈（π/4，π/2），sinx>0，cosx<0，此时f（x）=|sinx|+|cosx|=sinx-cosx=√2sin（x-π/4）
于是f（x）在x∈（π/4，π/2）可以画出来，是单调递减的。
结合周期知f（x）=|sinx|+|cosx|在[（πk）/2，(πk)/2+π/4] k∈Z单调递增，
在[(πk)/2+π/4，(πk/2)+π/2] K∈Z单调递减。
【注：如果你是高中生，最好记住关于函数f（x）=|sinx|+|cosx|的结论，到高三很常用】

追问

为什么4/π是分界线，而且X∈（π/4，π/2）时cosx＞0

追答

周期是π/2啊
这个时候就要用整体的思想来看这个题目了，不要分开单个看

追问

卧槽.. 无法理解 o_O

追答

π/4之前，cos和sin都大于0，可以直接把绝对值去掉
π/4之后，sinx>0，cosx<0，也可以去绝对值

只有绝对值去掉之后才能化简啊，才能看得到单调区间啊

追问

我的问题在于为什么π./4之后cosx＜0啊，，

Answer 2

首先确定y>0，则y的单调递增区间和y^2的单调递增区间相同。
y^2=(sinx)^2+(cosx)^2+2|sinx·cosx|=1+2|sin2x|
单调递增区间参照|sinx|的图形，|sinx|的单调递增区间为[kπ,kπ+π/2],y^2的单调递增区间为[kπ/2,kπ/2+π/4]即y=|sinx|+|cosx|的单调递增区间

关于单调递增区间相同的证明如下：
在单调递增区间内对于任何x1<x2,都有y1<y2,因为y^2在y>=0的时候都是单调递增的，则有(y1)^2<(y2)^2
因此得到在y对于任何x1<x2都有(y1)^2<(y2)^2