Question

三角函数（2）解题疑问：3，已知y=sin(wx+Φ)与直线y=1/2的交点中，距离最近的两点间距离为π/3，

那么此函数周期是
A π/3 B π C 2π D 4π
我的疑问是下面解答中的“所以距离最短为（5π/6-π/6)/w=π/3” 为什么？

解答附下：
sin(wx+Φ)=1/2，则
wx+Φ=2kπ+π/6或者wx+Φ=2kπ+5π/6
x=(2kπ+π/6-Φ)/w
或x=(2kπ+5π/6-Φ)/w
所以距离最短为（5π/6-π/6)/w=π/3
即(2π/3)/w=π/3 w=2
所以周期为2π/w=π

Answer 1

我的疑问是下面解答中的“所以距离最短为（5π/6-π/6)/w=π/3” 为什么？
以例说明：
由图 

                           
兰色正弦曲线为y=sin(2x+π/6)图像
红色直线为y=1/2
显然，二图像交点为sin(2x+π/6)=1/2
2x+π/6=2kπ+π/6==>x=kπ，
2x+π/6=2kπ+5π/6==>x=kπ+π/3；
可见相邻交点间距离最短的是每个正弦波正半周与y=1/2的二个交点
即（kπ+π/3）-（kπ）=π/3

追问

你好，我们老师这样做的“T/2*2/3=π/3” ，我不知道这为什么？

追答

“T/2*2/3=π/3”是由（5π/6-π/6)/w=π/3”来的
（5π/6-π/6)/w=2π/3*1/w=2π/3*T/(2π)=T/2*2/3=T/3=π/3

Answer 2

解：对于函数y=sin(wx+Φ),周期为T=2 π /w,考虑到原有函数y=sinx的周期问题,可以联立两个函数方程思考,取任意两个最近的函数y=sinx与直线y=1/2的交点,得距离为5π/6-π/6=2π/3 ,必须明确的是,这个值是与函数周期有关的,所以函数y=sin(wx+Φ)的w为(2π/3)/(π/3)=2,则该函数周期为2π/w=π

Answer 3

sin(wx+Φ)=1/2，则
wx+Φ=2kπ+π/6或者wx+Φ=2kπ+5π/6
x1=(2k1π+π/6-Φ)/w或x2=(2k2π+5π/6-Φ)/w
x2-x1=2(k2-k1)π/w+(5π/6-π/6)/w
这里k1,k2是整数，那么k1-k2=0时，
|x1-x2|距离最短为（5π/6-π/6)/w=π/3
即(2π/3)/w=π/3 w=2
所以周期为2π/w=π

追问

距离最短为（5π/6-π/6)/w=π/3” 为什么？

追答

x2-x1=2(k2-k1)π/w+(5π/6-π/6)/w
=[2(k2-k1)π+π/3]/w

这里k1,k2是整数，那么k1-k2=0时，

|x1-x2|距离最短为（5π/6-π/6)/w=π/3

追问

你好，我们老师这样做的“T/2*2/3=π/3” ，我不知道这为什么？

追答

从一个零点到相邻的零点相距半周期，从1/2点到相邻的1/2点相距为半周期的2/3，如兀／6到5兀／6是0到兀的2/3

在用手机回答，不太方便。

追问

你好，“从一个零点到相邻的零点相距半周期，从1/2点到相邻的1/2点相距为半周期的2/3，如兀／6到5兀／6是0到兀的2/3” 这句话是什么意思，不懂

追答

看图吧

y=sinx

y=1/2时，两个最近的x值相距为2π/3,是半周期π的2/3

y=sin(wx+φ)的图像是在y=sinx基础上伸缩，平移后得到的

上面的比例是不变的。

追问

你好，谢谢你耐心解答，“
y=sin(wx+φ)的图像是在y=sinx基础上伸缩，平移后得到的
上面的比例是不变的。”这个，不太能理解，不懂为什么此时两个x还是相距2T/3

追答

平移不改形状，比例肯定不变
关键是伸缩，伸缩也是按统一的比例伸缩的呀
比如w=1到w=2时，横向均变成原来的一半，全变成一半了
y=sinx 中 半周期π变成了y=sin2x的半周π/2
y=1/2时两个x值之间的距离也变成原来的一半了

因此，原来的2T/3伸缩后还是2T/3

Answer 4

因为是周期函数 不妨假设其中一点为O x=(2kπ+π/6-Φ)/w (如果还不好理解可以再特殊的把所有的2kπ去掉）

那么其右边距其最近的一点A x=(2kπ+5π/6-Φ)/w 距离AO即为（5π/6-π/6)/w

其左边距其最近的一点B x=(2kπ+5π/6-Φ-2π)/w 距离BO即为（2π-4π/6)/w
显然AO<BO 所以 （5π/6-π/6)/w=π/3