Question

z是xy的隐函数 F（x，y，z）对x求偏导数和F'x这两个一样吗？？二者区别在哪？

Answer 1

解：对于这一道题，不妨设u=F（x，y，z），z=z（x，y）那么u对于x的偏导数等于：
∂u/∂x =∂F/∂x+∂F/∂z*∂z/∂x，
这是正确的，
同时也可以写成
∂u/∂x = F'x + F'z * z‘，
其中F'x表示对于函数u中的自变量x求导，也就是不把z=z（x，y）代入函数F（x，y，z）时，u或者说F（x，y，z）对于x求导的导数值，也就是说，此时计算F'x时是把x，y，z都看成是各自独立的自变量；同样的道理。式子中F'z * z‘表示u或者说F（x，y，z）先对于z求导，而z又是x的函数，故由求导得链式法则可知还需再乘以z对于x的导数。

需要注意的是：对于具体的函数来说，若已经把z=z（x，y）代入函数u中或者说F（x，y，z）中，也就是变成了F（x，y，z（x，y）），此时自变量z已经不存在了，即F'z=0，亦即上式中 F'z * z‘=0，此时显然有
∂u/∂x = F’x + 0，

综上可以将上述两种情况合并写成
∂u/∂x = F'x + F'z * z‘，
只是要记住，这只是形式上的表示，在具体算的时候，要么先将z=z（x，y）代入F(x，y，z)中后进行求导，要么先保留z的形式（此时计算F‘x和F'z时把x，y，z都看成是各自独立的自变量）按上式进行求导，之后再将z=z（x，y）代入所求得的式子中，从而消去z而为只关于x，y的函数。 当然只要计算正确，最后结果肯定是一样的。

追问

简单点说F'x是F对独立变量x的偏导数？

追答

一般地，无特殊说明的情况下，F‘x都是指对于自变量x求偏导数，而将其他自变量视为与x独立。