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隐函数求偏导数。如图,为什么F对x求偏导能把z看成常数?z不是对x的导数吗~?
对于三元函数F来说,x,y,z的地位是一样的,都是自变量。F对自变量x求偏导数,自变量y,z自然是被看作常量。
解方程,把x,y看作已知的,那么在一定条件下可以解出一个z关于x,y的结果来,这就是隐函数z=f(x,y)。
方程两边分别对x,y求导,对x求导时y是常量,对y求导时x是常量,而z始终是关于x,y的函数。所以得到:
Fx+Fz*αz/αx=0,
Fy+Fz*αz/αy=0,
得解αz/αx与αz/αy。
x方向的偏导
设有二元函数 z=f(x,y) ,点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ,相应地函数 z=f(x,y) 有增量(称为对 x 的偏增量)△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。
如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在,那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数,记作 f'x(x0,y0)或函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数,实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后,一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。
为大佬robin_2006补充一些
单给了F(x,y,z)=0,xyz地位相同
给了F(x,y,z)=0,又说z=z(x,y)由F(x,y,z)确定,实际上函数z就是对F(x,y,z)的变形,对于F来说,xyz地位还是相同,只是变了位置(举个例子F(x,y,z)表示x+y+z-5=0,就可以写成z=z(x,y)=5-x-y;x=x(y,z)=5-y-z;y=y(x,z)=5-x-z)。
但是,算F对x的偏导,是把F看作了关于x的函数,其他地位相等,可以作常数(为什么可以看做常数或者说常量就是另一个问题了,要是不清楚额外再搜吧),但如果是偏z/偏x则是把z看作了x的函数(还是上面这个例子,F对x的偏导,就是1,而偏z/偏x其实是z对x偏导,也就是在z=z(x,y)=5-x-y中对x求偏导,为-1)
还有的是需要在F中求x对y的偏导,这时候F是关于x,y的函数,同时x是关于y的函数,y是自变量,z是常数,即F(x(y,z),y,z)其中z为常数(这里的具体内容实际就是公式法的推导了,内容比较多,可以直接去找公式法的推导,然后用上面这个例子试试)。
既给了F(x,y,z)=0,又说z=z(x,y),但没说z=z(x,y)由F(x,y,z)=0确定,那么z的地位就变了,是关于xy的因变量。(举个例子比如F(x,y,z)=x+y+z-5=0,z=z(x,y)=x+y与上面那个区分)
那题目说z=f(x,y)是什么意思呢?
解方程,把x,y看作已知的,那么在一定条件下可以解出一个z关于x,y的结果来,这就是隐函数z=f(x,y)。
那题目说z=f(x,y)是什么意思呢?
那你再看看公式Fx,Fy,Fz与偏导的关系