Question

已知函数f(x)=x三次方+ax二次方+bx+c在x=-2/3与x=1时都取得极值

若对x属于[-1,2],不等式f(x)<c二次方 恒成立,求c的取值范围

Answer 1

1，已知函数f(x)=x三次方+ax二次方+bx+c在x=-2/3与x=1时都取得极值,所以当x=-2/3与x=1时f(x)的导数为0,f(x)的导数等于3x的平方+2ax+b,把X= -2/3和X=1带入可以求得a= -1/2，b= -2；
2，故所求不等式转化为f(x)=x三次方-1/2x平方-2x+c<c平方,
3，即f(x)=x三次方-1/2x平方-2x<c平方-c要恒成立，则只要当x属于[-1,2]时c平方-c大于x三次方-1/2x平方-2x的最大值即可.
4，设g(x)=x三次方-1/2x平方-2x，令g(x)的导数为0，可以求得驻点(可疑极值点)为x=-2/3与x=1，和端点x= -1，x=2
5，把以上四个点带入g(x),求得g(-2/3)=22/27，g(1)= -3/2，g(-1)=1/2，g(2)=2,所以当x属于[-1,2]时g(x)的最大值为2
6，故要使所求不等式恒成立,只要c平方-c恒大于2即可,求得c的取值范围是c<-1或c>2