Question

在三角形ABC中，AB=AC=8，角BAC=120度，取一把含30度角的三角板，把30度角的顶点放在边BC的中点M处，三角

板绕点M旋转。1，如图，当三角板的两边分别交边AB，AC于点E，F时，求证：三角形BME相似三角形CFM。2，当三角板的两边分别交边AB，边CA的延长线于点E，F。（1）三角形BME与三角形CFM还相似吗？为什么？（2）连接EF，三角形、BME与三角形MFE是否相似？说明理由。（3）设AE=x，EF=y，求x 与y的函数解析式，并写出定义域

Answer 1

在三角形ABC中,AB=AC=8,角BAC=120°,取一把含30°角的三角板,把30°角的顶点放在边BC的中点M处，三角板绕点M旋转。
1）如图1，当三角形的两边分别交边AB，AC于点E，F时求证三角形BME相似于三角形CFM。
因为△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°
所以，∠B=∠C=30°
在△CFM中，根据三角形的外角等于不相邻两个内角之和，有：
∠BMF=∠BME+∠EMF=∠C+∠CMF
而，已知∠EMF=30°
所以，∠BME=∠CMF
∠B=∠C
所以，△BME和△CFM的三个角对应相等
所以，△BME∽△CFM

2）如图2，当三角板的两边分别交边AB，边CA的延长线于点E,F。
①三角形BME与三角形CFM还相似吗？为什么？
同1)理，∠BMF=∠BME+∠EMF=∠C+∠CMF
且，∠B=∠C=∠EMF=30°
所以，∠BME=∠CMF
所以，△BME∽△CFM

②连接EF，三角形BME与三角形MFE是否相似？请说明理由！
由上面知，△BME∽△CFM
所以，BE/CM=EM/FM
而，M是边BC中点，所以：CM=BM
所以，BE/BM=EM/FM
且，∠B=∠EMF=30°
所以，在△BME和△MFE中，有两组对边成比例，且它们的夹角相等。所以：
△BME∽△MFE

③设AE=x,EF=y，求y与x的函数解析式，并写出定义域。
连接AM，过M作AB的垂线，垂足为D
因为△ABC是等腰三角形，且M为底边中点，所以：
AM垂直平分BC，且AM为∠BAC的平分线
而，∠B=∠C=30°，AB=AC=8
所以，AM=4，∠BAM=60°,BM=√(8^2-4^2)=√(64-16)=√48=4√3
所以，∠AMD=30°
所以，AD=AM/2=2
则，根据勾股定理有：MD=√(AM^2-AD^2)=√(16-4)=√12=2√3
已知，AE=x，所以：DE=|AE-AD|=|x-2|
所以，在Rt△MDE中根据勾股定理有：
ME=√(DE^2+MD^2)=√[(x-2)^2+12]=√(x^2-4x+16)………（1）
通过上面1)、2)的证明，得到：
△BME∽△CFM∽△MFE
所以：
EF/BE=BM/FM，即：y/(8-x)=(4√3)/FM……………………（2）
EF/FM=EM/MC，即：y/FM=EM/(4√3)…………………………（3）
(2)、(3)两式左右分别相乘，得到：
y^2/[FM*(8-x)]=EM/FM
===> y^2=(8-x)*EM
将（1）式代入上式，得到：
===> y^2=(8-x)*√(x^2-4x+16)
因为E在AB上，而AB=8，所以：0<x<8
(或者，因为y^2是非负数，所以等式右边大于零，所以x<8)

特别地，当x=8时，E与B重合
因为∠EMF（∠BMF）=30°，且∠C=30°
所以，FM//AC
此时，FM与CA的延长线无交点(F)，那么EF就自然不存在了！！