Question

函数f(x)=[﹙x+1﹚^2+sinx]/﹙x^2+1﹚的最大值为M，最小值为m，则M+m=？

具体答案和解析

Answer 1

f(x)=[(x+1)²+sinx]/(x²+1)=1+(2x+sinx)/(x²+1)
记g(x)=(2x+sinx)/(x²+1)，设g(x)的最大值为T，最小值为t
则M=1+T，m=1+t，∴M+m=2+T+t
注意g(-x)=-g(x)，∴g(x)是奇函数
设g(a)=T≥g(x)，对任意x∈R成立，
则-g(a)≤-g(x) => g(-a)≤g(-x)，∴g(-a)为其最小值t
∴T+t=g(a)+g(-a)=g(a)-g(a)=0
即M+m=2

Answer 2

f(x) = 1+ (2x+sinx)/(x^2+1)
f(x) 关于（0，1）中心对称
最大值M= 1+d, 最小值=1-d
M+m = 2