Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，常数λ＞0，且λa1an=S1+Sn对一切正整数n都成立．

已知数列{an}的前n项和为Sn，常数λ＞0，且λa1an=S1+Sn对一切正整数n都成立．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列{lg

1 /an }的前n项和最大？

Answer 1

解（I）当n=1时，λ a12 ＝2s1＝2a1
∴a1（λa1-2）=0
若取a1=0，则sn=0，an=sn-sn-1=0
∴an=0（n≥1）
若a1≠0，则a1＝2/λ，
当n≥2时，2an=2/λ+sn，2an−1＝2/λ+sn−1
两式相减可得，2an-2an-1=an
∴an=2an-1，从而可得数列{an}是等比数列
∴an=a1•2^(n-1)=2/λ•2^(n−1)=2^n/λ
综上可得，当a1=0时，an=0，当a1≠0时，an＝2^n/λ
（II）当a1＞0且λ=100时，令bn＝lg1/an
由（I）可知bn＝lg100/2^n ＝2−nlg2
∴{bn}是单调递减的等差数列，公差为-lg2
∴b1＞b2＞…＞b6=lg100 2^6＝lg100 64 ＞0
当n≥7时，bn≤b7＝lg100 2^7＝lg100 128 ＜0
∴数列{lg1/an}的前6项和最大