Question

若x，y满足x^2-2xy+y^2-（根号3）x-（根号3）y+12=0, 求下列表达式的最小值

若x，y满足x^2-2xy+y^2-（根号3）x-（根号3）y+12=0, 求下列表达式的最小值
（1）：x+y （2）：xy （3）：x^3+y^3
重点要3的过程，谢谢

Answer 1

x^2-2xy+y^2-√3x-√3y+12=0,
（x-y）^2-√3(x+y)+12=0
令 x=m+n, y=m-n
则x+y=2m,x-y=2n
代入化简得：4n^2-2√3m+12=0
2n^2-√3m+6=0
2n^2=√3m-6,
n^2=（√3m-6）/2≥0
（1）n=0时，m最小，x+y也最小，m=2√3
x+y=2m=4 √3
（2）
xy=m^2-n^2=m^2-(√3m-6)/2
=m^2-√3m/2+3
=(m-√3/4)^2+3-3/16
故：当 m=2√3时，xy的最小值是：12
（3）x^3+y^3
=(x+y)(x^2-xy+y^2)
=(x+y)(x^2+2xy+y^2-3xy)
=2m[(2m)^2-3(m^2-√3m/2+3)]
=2m[4m^2-3m^2+3√3m/2-9]
=2m(m^2+3√3m/2-9)

函数是增函数，m最小值2√3
故：当 m=2√3时，x^3+y^3的最小值是：48√3

Answer 2

解：令t = x-y, s = x+y
x^2-2xy+y^2-√3x-√3y+12=0 化为
t^2 - √3s + 12 =0
∴ x = (s+t)/2, y=(s-t)/2
xy = (s^2-t^2)/4
= (s^2 -√3s + 12)/4
s = (t^2+12)/√3 ≥ 4√3
∴s的最小值为4√3，即x+y的最小值为4√3
(s^2 -√3s + 12)/4 最小值为，即xy的最小值为
(4√3*4√3 -√3*4√3 + 12)/4 = 12
x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)
∴x^3+y^3最小时，x+y和xy应为最小
∴x^3+y^3的最小值为 4√3*[(4√3)^2-3*12]
=48√3
望采纳

追问

∴x^3+y^3最小时，x+y和xy应为最小

为什么xy最小

追答

因为x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)

x^2-xy+y^2=(x+y)^2-3xy

追问

因为x^2-xy+y^2=(x+y)^2-3xy
x^2-xy+y^2最小，

应该x+y最小，xy最大
怎么解释

Answer 3

(1) (x-y)^2-3^(1/2)*(x+y)+12=0
3^(1/2)*(x+y)=12+(x-y)^2
x=y时， x+y有最小值 4*（根号3）