Question

求出所有这样的正整数a,使得ax^2+2(2a-1)x+4(a-3)=0，至少有一个整数根

Answer 1

由方程可知：a=2(x+6)/(x+2)^2;
因为a只能为正整数，且x也只能为整数，利用这两个条件，可以用x为整数进行试凑,由于分母非负，所以x>-6,又因为a为正整数，分母=<分子，可知-4<x<2,且x!=-2综上
结果为：x=2,a=1;
x=0,a=3;
x=-1,a=10;
x=-3,a=6.

Answer 2

首先必须△=[-2(2a-1)]^2-4a[4(a-3)]=32a+4是一个完全平方数
因为32a+4=2^2(8a+1)
所以8a+1必须是完全平方数。
因为8a+1是奇数，所以设8a+1=(2k-1)^2,k是整数
则a=k(k-1)/2
因为a>0所以k>1或k<0
此时△=(4k-2)^2
方程aX^2-2(2a-1)X+4(a-3)=0的根是
X=[2(2a-1)±√△]/2a
所以X1=2(k+2)/k,X2=2(k-3)/(k-1)
若X1是整数，则设2(k+2)/k=b，b是整数
则k=4/(b-2)
所以k只能等于±4，±2，±1但k=1与k>1或k<0不符，舍去
所以k=±4，±2，-1
对应的a=6,10,1,3,1。
若X2是整数，则设2(k-3)/(k-1)=c，c是整数
k=(c-6)/(c-2)=1-4/(c-2)
所以k-1=±4，±2，±1但k-1=-1与k>1或k<0不符，舍去
所以k=5,3,2,-3,-1
对应的a=10,3,1,6,1。
所以当a=1,3,6,10时
方程aX^2-2(2a-1)X+4(a-3)=0至少有一个整数解

Answer 3

化简得a(x^2+4x+4)=2x+12
令x+2=m，则要使得x有整数解，等价于m有整数解
则a=(2m+8)/m^2，(m不等于0，因为m等于0时，即x+2=0时原方程对a无解)
因为a为正整数，所以2m+8大于0，即m大于等于-3
另一方面，m大于4时，2m+8小于m^2，即a小于1
所以m可取的值为-3到4的整数，且m不等于0，逐一试验即可。但在这里，-3和3不用试，显然m为-3或3时，2m+8为偶数，而m^2为奇数。
综上，最后答案为
a=1,x=-4,2
a=3,x=0
a=6,x=-3
a=10,x=-1