Question

高一数学题！已知a大于等于0，b大于等于0，a+b=1，则根号下（a+1/2）+根号下（b+1/2）的范围是？

根号下的东西是括号里的，不带那个加号，最后的答案是【（根号6+根号2）/2,2】

Answer 1

√(a+1/2)+√(b+1/2)
=√(a+1/2)+√(3/2-a)=t>0,0<=a<=1
t^2=2+2√(-a^2+a+3/4)
=2+2√[-(a-1/2)^2+1]
a=1/2
t^2max=4,tmax=2
a=0或a=1,t^2min=2+√3,tmin=(√6+√2)/2
√(a+1/2)+√(b+1/2)的取值范围为
∈[(√6+√2)/2,2]

追问

请问可以用基本不等式做吗

追答

当a≥0,b≥0时，√[(a²+b²)/2]≥(a+b)/2，当a=b时取到等号。

√(a+1/2) +√(b+1/2)≤2√[(a+1/2+b+1/2)/2]=2√1=2

当a≥0,b≥0时，a+b≥2√（ab），当a=b时取到等号。

令t=√(a+1/2) +√(b+1/2),t＞0。
t²=a+b+1+2√(ab+1/2a+1/2b+1/4)
=3/2+2√(ab+3/4)
又因为ab≥0,当a=0，b=1。或者a=1,b=0时取到最小.
所以
t²≥3/2+2√(3/4)
即t≥√[3/2+2√（3/4）]=（√6+√2）/2
综上：√a+1/2 +√b+1/2的取值范围：
[（√6+√2）/2,2]

追问

太感谢了！！！谢谢:-P

Answer 2

设a=1/2+x，b=1/2-x，其中0<x<1/2
∴
根号下（a+1/2）+根号下（b+1/2）
=根号下（x+1）+根号下（x）
∴最大值是：根号下（1/2+1）+根号下（1/2）=根号6+根号2）/2；

最小值=根号下（0+1）+根号下（0）=1