Question

若A为n阶实对称矩阵，且A∧2=0,则A=0

Answer 1

设矩阵A是n×n阶实对称矩阵,且A的平方等于0,证明A=0
设A=[aij],其中i,j=1,2,...,n
令C=A^2=A×A,依据矩阵乘法法则,C中主对角线上元素cii就是A的第i行和A第i列元素对应相乘再相加所得.其中i=1,2,...,n
cii=ai1*ai1+ai2*ai2+...+ain*ain
=(ai1)^2+(ai2)^2+...+(ain)^2
(因为A对称,所以第i行元素和第j列元素是对应相等的)
而cii=0 （C为零矩阵,其中每一个元素当然也是零）
所以
0=(ai1)^2+(ai2)^2+...+(ain)^2
而A是实矩阵,其元素均为实数,
所以aij=0 (j=1,2,...,n),即A中每一个元素均为数字零
因此A=零矩阵

Answer 2

设矩阵A是n×n阶实对称矩阵，且A的平方等于0，证明A=0。

令C=A^2=A×A，依据矩阵乘法法则，C中主对角线上元素cii就是A的第i行和A第i列元素对应相乘再相加所得。

所以aij=0（j=1，2，n），即A中每一个元素均为数字零。

cii=ai1*ai1+ai2*ai2+ain*ain。

=（ai1）^2+（ai2）^2+（ain）^2。

所以0=（ai1）^2+（ai2）^2+（ain）^2。

而A是实矩阵，其元素均为实数，所以aij=0（j=1，2，n），即A中每一个元素均为数字零。

因此A=零矩阵。

矩阵

高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中，在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵，矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。