Question

已知方程x²+y²-2x-4y+m=0

（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M,N两点,以弦M,N为直径的圆经过原点，求m的值和以MN为直径的圆的方程。

Answer 1

（1）x2+y2-2x-4y+m=0即（x-1）2+（y-2）2=5-m
若此方程表示圆，则5-m＞0∴m＜5

（2）
x+2y-4=0 x^2+y^2-2x-4y+m=0
x=4-2y代入得5y^2-16y+8+m=0

∵△=（-16）2-4×5×（8+m）＞0

∴m＜24/5 y1+y2=16/5 y1y2=8+m/5
∵OM*ON
=0得出：x1x2+y1y2=0而x1x2=（4-2y1）�6�1（4-2y2）=16-8（y1+y2）+4y1y2

∴5y1y2-8（y1+y2）+16=0，∴m=8/5
m＜ 24/5的值
，∴m=8/5
（3）设圆心为（a，b），且O点为以MN为直径的圆上的点x1+x2=(4-2y1)+(4-2y2)=8-2(y1+y2)=(8/5) a=x1+x2/2=4/5 b=y1+y2/2=8/5
半径r=√a2+b2=4√5/5 圆的方程(x-4/5)^2+(y-8/5)^2=16/5