Question

请问各位数学系前辈及同僚一个有关有理数定义的问题：

总所周知，有理数 Q：={x∈Z：x=(p/q)∧(q≠0)∧[(p,q)=1]}，这也正印证了英文中quotient的缩写。但是我有个疑问，如果对所有无理数γ（比如说π或者是e等经典无理数）都除以无穷小（例如10^(-n)），那这个所谓的商不是也符合有理数的定义吗？至少在广义上来讲，它是符合定义“可以表示成两个整数的商”啊？
ps: 问题涉及到数论中的有理数与无理数定义（假设没有戴德金分割的影响），所以请前辈们仔细看下我的题目。再次谢谢大家的帮忙了~

Answer 1

无穷小是函数，而不是数。所谓的商如果硬要说存在，那就是无穷大，而无穷大不是实数

追问

先谢谢啦。我知道平时所说的无穷小是极限中的概念，我这里只不过是借用表达罢了。具体的问题涉及到数论中的有理数与无理数的定义表达，所以可能是我问的不是很清晰。

Answer 2

设α是无穷小，即limα=0；那么lim(π/α)=∞，∞不是有理数。

追问

谢谢，我知道我们平常所说的无穷小是极限里的概念 。我只不过借了这个词而已，具体我的意思你可能没明白。

追答

设m，n是两个互质的整数，那么有理数p=m/n；而无理数Q不能表为形如m/n的分数。
有理数对四则运算自封，即对有理数作四则运算，只能产生有理数。
无理数是对有理数作四则运算以外的运算，如开方而产生的。

Answer 3

有理数和无理数的定义再看看吧,

追问

谢谢你的回答，但我想你把我的问题搞混了。我问的是在数论里的有关有理数与无理数分割与定义中的质疑。所以你可能没理解我的意思~