Question

求解复变函数sinz=2方程得解及解题过程，求大神帮忙，小弟感激涕零！

Answer 1

z=a+ib

解析过程：

2=sinz=[e^(iz)-e^(-iz)]/(2i)=[e^(ia-b)-e^(-ia+b)]/(2i)
4i=e^(-b)(cosa+isina)-e^b(cosa-isina)
对比实部,虚部得：
0=e^(-b)cosa-e^bcosa,因为b0,所以有cosa=0,有sina=1,或-1
4=e^(-b)sina+e^bsina,sina=-1时,无解,所以只能取sina=1,得：e^b+e^(-b)=4,解得：e^2b-4e^b+1=0,得：e^b=2+√3,2-√3,得：b=ln(2+√3),ln(2-√3)
由cosa=0,sina=1,得：a=2kπ+π/2
所以z=a+ib,a=2kπ+π/2,b=ln(2+√3),ln(2-√3)

发展简况

复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔－欧拉方程”。

到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西－黎曼条件”。

复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。

Answer 2

z=a+ib
2=sinz=[e^(iz)-e^(-iz)]/(2i)=[e^(ia-b)-e^(-ia+b)]/(2i)
4i=e^(-b)(cosa+isina)-e^b(cosa-isina)
对比实部，虚部得：
0=e^(-b)cosa-e^bcosa, 因为b<>0, 所以有cosa=0, 有sina=1, 或-1
4=e^(-b)sina+e^bsina, sina=-1时，无解，所以只能取sina=1, 得：e^b+e^(-b)=4, 解得：e^2b-4e^b+1=0, 得：e^b=2+√3, 2-√3, 得：b=ln(2+√3), ln(2-√3)
由cosa=0, sina=1, 得：a=2kπ+π/2
所以z=a+ib, a=2kπ+π/2, b=ln(2+√3), ln(2-√3)

Answer 3

令z=x+y,则x=π/2+2kπ,k∈z（整数集）,y=ln（2+√3）