Question

高数中关于特解的问题，y"+6y'+9y=9e的5x次方的特解形式是_?这道题和等号右边是xe的-

3x次方又有什么不同？在线

Answer 1

第一步求通解：
y''+6y'+9y=0
特征根方程 r^2+6r+9=0
r=-3 是重根
通解是 y=(C+Dx)e^(-3x)

特解求法：
f(x)的形式是e^(λx)*P(x)型，（注：P（x）是关于x的多项式，且λ经常为0）
则y*=x^k*Q(x)*e^（λx） (注：Q（x）是和P（x）同样形式的多项式，例如P（x）是x²+2x，则设Q（x）为ax²+bx+c，abc都是待定系数)
若λ不是特征根 k=0 y*=Q(x)*e^（λx）
若λ是单根 k=1 y*=x*Q(x)*e^（λx）
若λ是二重根 k=2 y*=x²*Q(x)*e^（λx）（注：二重根就是上面解出r1=r2=λ）

当等号右边是 9e^(5x) 时，与特征根不同，即【若λ不是特征根 k=0 y*=Q(x)*e^（λx）】
y*=Ae^（5x）
y*'=5Ae^（5x）
y*''=25Ae^（5x）
代入后 y*''+6y*'+9y*=25Ae^（5x）+6*5Ae^（5x）+9*Ae^（5x）=64Ae^（5x）=9e^(5x)
A=9/64
y*=9/64*e^（5x）

当等号右边是 xe^(-3x) 时，与特征根相同，即
【若λ是二重根 k=2 y*=x²*Q(x)*e^（λx）（注：二重根就是上面解出r1=r2=λ）】
y*=x^2(Ax+B)*e^(-3x)
y*'=(-3x^2(Ax+B)+2x(Ax+B)+Ax^2)*e^(-3x)
y*''=(9x^2(Ax+B)-12x(Ax+B)+2(Ax+B)-6Ax^2+4Ax)*e^(-3x)
代入后 y*''+6y*'+9y*
=(9x^2(Ax+B)-12x(Ax+B)+2(Ax+B)-6Ax^2+4Ax)*e^(-3x)
+6(-3x^2(Ax+B)+2x(Ax+B)+Ax^2)*e^(-3x)
+9x^2(Ax+B)*e^(-3x)
=(6Ax+2B)*e^(-3x)=xe^(-3x)
6A=1 , A=1/6
B=0
y*=x^2(x/6)*e^(-3x)=x^3/6*e^(-3x)

追问

这么详细！谢谢了！

追答

其实，二阶方程，有标准解法的，可以找一下文库的资料