Question

在三角形ABC中，角ACB是锐角，点D是射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF

（2）如果AB不等于AC，角BAC不等于90°，点D在线段BC上运动，当三角形ABC满足一个什么条件时，CF垂直于BC？画出相反图形，并说明理由。
（3）若AC=4√2 ，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值

Answer 1

解：（1）CF与BD位置关系是垂直，
证明如下：如图（1）
∵AB=AC，∠ACB=45°，
∴∠ABC=45°，
由正方形ADEF得AD=AF，
∵∠DAF=∠BAC=90°，
∴∠DAB=∠FAC，
∴△DAB≌△FAC，
∴∠ACF=∠ABD
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，
即CF⊥BD；

（2）CF⊥BD，（1）中的结论成立，
理由：如图（2），
过点A作AC⊥AC交BC于点G
∴AC=AG，仿（1）可证：
△GAD≌△CAF，
∴∠ACF=∠AGD=45°，
∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°
即CF⊥BO；
（3）过点A作AQ上BC交CB的延长线于点Q ①如图（3）点D在线段BC上运动时，
∵∠BCA=45°，
可求出AQ=CQ=4，
∴DQ =4-x，
易证△AQD∽△DCP，
∴
∴
②如图（4），点D在线段BC延长线上运动时，
∵∠BCA=45°，
可求出AQ=CQ=4，
∴DQ=4+x，
过A作AG⊥AC交CB延长线于点G，
则△AGD≌△ACF，
∴∠AGD=∠ACF，
∵∠AGD+∠ACG=90°，
∴∠ACF+∠ACG=90°，
∴CF⊥ BD，
∴△AQD∽△DCP，
CP=3

Answer 2

因为角BAC=90，因此角DAB=角BAC+角DAC=90+角DAC=角FAD+角CAD=角FAC。又AF=AD,AC=AB，因此三角形AFC全等于三角形ADB。CF=DB
*******************************************************************************
证明：由已知得AB=AC，∠BAC=∠DAF=90°，AD=AF，∴∠BAD=90°-∠DAC=∠CAF， ∴△ABD≌△ACF，BD=CF，∠B=∠ACF=45°，∴∠BCF=∠BCA+∠ACF=45°+45°=90° ∴CF=BD，CF⊥BD。