Question

设函数f(x)在数集X上有定义，试证:函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界

Answer 1

具体回答如下：

证明：

若函数f(x)在X上有界，则存在M>0,对任意x∈X，|f(x)|<M，－M<x<M。

若函数f(x)在X上既有上界又有下界。

即对任意x∈X，存在m<n,使m<|f(x)|<n。

取正数M＝max{|m|,|n|}

有－M≤m<|f(x)|<n≤M

即－M <|f(x)|< M

|f(x)|<M

函数的性质：

设函数f（x）在区间X上有定义，如果存在M>0，对于一切属于区间X上的x，恒有|f（x）|≤M，则称f（x）在区间X上有界，否则称f（x）在区间上无界。

设函数f（x）的定义域为D，区间I包含于D。如果对于区间上任意两点x1及x2，当x1<x2时，恒有f（x1）<f（x2），则称函数f（x）在区间I上是单调递增的。

Answer 2

必要性
f(x)在X上有界即存在M>0。对任意x∈X,有|f(x)|<M
所以 对任意x∈X, -M< f(x)<M
既有上界M又有下界－M.
充分性
f(x)在X上既有上界又有下界，由确界定理知f(x)在X上既有上确界F又有下确界G.
所以 对任意x∈X, G-1< G《f(x)《F<F+1,令M=max{|G-1|,|F+1|}
则对任意x∈X, |f(x)|<M成立
所以函数f(x)在X上有界。