求幂级数∑（n+1）^2·x^n/n！的和函数 10
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解：分享一种解法。
设S(x)=∑x^(n+1)/(n!)。∴S(x)=∑x^(n+1)/(n!)=x∑x^n/(n!)=xe^x。
对S(x)的级数，两边对x求导，∴[S(x)]'=∑(n+1)x^n/(n!)。两边同乘x再求导，有[x[S(x)]']'=∑(n+1)²x^n/(n!)。
又，S'(x)=[xe^x]'=(x+1)e^x，∴[xS'(x)]'=[x(x+1)e^x]'=(x²+3x+1)e^x，
∴∑(n+1)²x^n/(n!)=(x²+3x+1)e^x。其中x∈R。
供参考。
设S(x)=∑x^(n+1)/(n!)。∴S(x)=∑x^(n+1)/(n!)=x∑x^n/(n!)=xe^x。
对S(x)的级数，两边对x求导，∴[S(x)]'=∑(n+1)x^n/(n!)。两边同乘x再求导，有[x[S(x)]']'=∑(n+1)²x^n/(n!)。
又，S'(x)=[xe^x]'=(x+1)e^x，∴[xS'(x)]'=[x(x+1)e^x]'=(x²+3x+1)e^x，
∴∑(n+1)²x^n/(n!)=(x²+3x+1)e^x。其中x∈R。
供参考。
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