Question

一道高数题

如图

Answer 1

绕x轴旋转，那就垂直于x轴方向切微元，微元是个近似小圆饼，半径为y，厚度为dx，因此体积为

以上，请采纳。

Answer 2

首先取体积微元，在x=a（t-sint）处，x变化量为dx，形成的圆环面积为：
dS=2πxdx，
圆环所在柱面体积：dV=ydS=2πxydx
又dx=d[a（t-sint）]=a（1-cost）dt
将x，y参数方程代入得：
dV=2π[a（t-sint）][a（1-cost）][a（1-cost）dt]=2πa3（t-sint）（1-cost）2dt
∴V＝
∫
2π
0
2πa3(t−sint)(1−cost)2dt
作变换u=t-π，则 t=u+π，dt=du，
原积分变为：
V＝
∫
π
−π
2πa3[(u+π)−sin(u+π)]•[1−cos(u+π)]2du
=2πa3
∫
π
−π
[π+（u+sinu）]（1+cosu）2du
=2π2a3
∫
π
−π
(1+cosu)2du+
2πa3∫
π
−π
(u+sinu)(1+cosu)2du
上式积分的第二部分被积函数 （u+sinu）（1+cosu）2为奇函数，因此在[-π，π]上，积分为0
∴V＝2π2a3
∫
π
−π
(1+cosu)2du=2π2a3
∫
π
−π
(1+2cosu+cos2u)du
=4π2a3+4π2a3
∫
π
−π
cosudu+π2a3
∫
π
−π
(1+cos2u)du
=4π2a3−4π2a3sinu
|
π
−π
+2π2a3−
1
2
π2a3sin2u
|
π
−π

=6π2a3

追答

可以的话望采纳

Answer 3

啊

Answer 4

18年考研数二真题。网上可以找到。