Question

已知:如图①,在△ABC中,∠C>∠B,AD⊥BC于D,AE平分∠BAC

（1）求证：∠EAD=½（∠C-∠B）；
（2）若AE为三角形的角平分线，F为AE上的一点，且FD垂直BC于D，如图②，求证：∠EFD=½（∠C-∠B）；
（3)若F点在AE的延长线上，上述结论还成立吗？

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Answer 1

1、证明：
∵∠BAC＝180-（∠B+∠C），AE平分∠BAC
∴∠CAE＝∠BAC/2＝90-（∠B+∠C）/2
∵AD⊥BC
∴∠ADC＝90
∴∠CAD+∠C＝90
∴∠CAD＝90-∠C
∴∠EAD＝∠CAE-∠CAD＝90-（∠B+∠C）/2-90+∠C＝（∠C-∠B）/2
2、∠DFE＝（∠C-∠B）/2
证明：过点A作AH⊥BC于H
∵∠BAC＝180-（∠B+∠C），AE平分∠BAC
∴∠CAE＝∠BAC/2＝90-（∠B+∠C）/2
∵AH⊥BC
∴∠AHC＝90
∴∠CAH+∠C＝90
∴∠CAH＝90-∠C
∴∠HAE＝∠CAE-∠CAD＝90-（∠B+∠C）/2-90+∠C＝（∠C-∠B）/2
∵AH⊥BC，FD⊥BC
∴AH∥FD
∴∠DFE＝∠HAE （同位角相等）
∴∠DFE＝（∠C-∠B）/2
3、∠DFE＝（∠C-∠B）/2
证明：过点A作AH⊥BC于H
∵∠BAC＝180-（∠B+∠C），AE平分∠BAC
∴∠CAE＝∠BAC/2＝90-（∠B+∠C）/2
∵AH⊥BC
∴∠AHC＝90
∴∠CAH+∠C＝90
∴∠CAH＝90-∠C
∴∠HAE＝∠CAE-∠CAD＝90-（∠B+∠C）/2-90+∠C＝（∠C-∠B）/2
∵AH⊥BC，FD⊥BC
∴AH∥FD
∴∠DFE＝∠HAE（内错角相等）
∴∠DFE＝（∠C-∠B）/2