Question

数学均值不等式问题，高悬赏 求详细解答

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Answer 1

只知道可以用倒数求解

Answer 2

这一步是利用均值不等式中几何平均数≤算术平均数这一公式的。

这个题利用到的是若a,b,c≥0则，

³√(abc)≤(a+b+c)/3 （当且仅当a=b=c时取等）

V=πx²(1-x)≤π/2*x*x*(2-2x)≤π/2*[(x+x+2-2x)/3]³=π/2*(2/3)³=4π/27

该不等式当且仅当x=x=2-2x时取等，也就是x=2/3

此时矩形的面积=x(1-x)=2/9

故选C

追问

能麻烦讲一下系数为啥变2了？

追答

利用这个公式的话需要通过系数的拼凑来实现 a+b+c=常数与x无关
如果直接利用公式x*x*(1-x)≤[(x+x+1-x)/3]³=(1-x)³/27，虽然公式用出来了，但是这个结果没有任何用处，还是和x的取值有关，并且因为利用了这个公式，等号是在x=1-x时取，没办法进行下一步的操作。
变成两倍后，x+x+2-2x=2，有利于后面的证明。
这里除了变成两倍，还可以变成1/2，具体操作如下
πx²(1-x)=4π*(x/2)*(x/2)*(1-x)≤4π*[(x/2+x/2+1-x)/3]³=4π/27
当且仅当x/2=1-x也就是x=2/3时取等，结果其实是一样的，宗旨就是让不等式右边变成常数。