Question

z=x^2+y^2与z=x围成的的图像是什么样子

Answer 1

两张曲面的交线方程应该是由z＝x^2+y^2与z＝x联立构成的方程组，在这个方程组里消去z后得到的方程，就是过交线且母线平行于z轴的柱面。
在上述方程组中消去z得到的是圆柱面(x-1/2)^2+y^2＝1/4，它在xoy面上的投影曲线是以(1/2,
0)为圆心、半径为1/2的圆周。
有了上述这些信息，相信你已能够想象出两张曲面围成的图像的样子了。至于进一步要做的，无论是求体积还是曲面面积、重心、转动惯量等，由于显然可以选择上述圆周划定的区域作为二重积分的积分区域，事实上都已不在话下了。

Answer 2

两曲面方程联立，消去z，得x^2+y^2＝1，所以立体在xoy面上的投影区域是d：x^2+y^2≤1
进而整个空间区域在柱坐标系下表示为：0≤θ≤2π，0≤ρ≤1，ρ^2≤z≤ρ
体积v＝∫(0→2π)
dθ∫(0→1)
ρdρ∫(ρ^2→ρ)
dz＝2π∫(0→1)
ρ(ρ-ρ^2)dρ＝π/6