Question

在数列｛an｝中，a1=1/2，a1+a2+....+an=n²an. 求an 求｛an｝的n项和

Answer 1

n≥2时，
a1+a2+...+an=n²an (1)
a1+a2+...+a(n-1)=(n-1)²a(n-1) (2)
(1)-(3)
an=n²an-(n-1)²a(n-1)
(n²-1)an=(n-1)²a(n-1)
(n+1)(n-1)an=(n-1)²a(n-1)
n≥2，n-1>0，等式两边同除以n-1
(n+1)an=(n-1)a(n-1)
an/a(n-1)=(n-1)/(n+1)
a(n-1)/a(n-2)=(n-2)/n
…………
a2/a1=1/3
连乘
an/a1=(1/3)(2/4)...[(n-1)/(n+1)]=[1×2×...×(n-1)]/[3×4×...×(n+1)]=2/[n(n+1)]
an=2a1/[n(n+1)]=2×(1/2)/[n(n+1)]=1/[n(n+1)]=1/n -1/(n+1)
n=1时，a1=1/1-1/2=1/2，同样满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=1/n -1/(n+1)
Sn=a1+a2+...+an
=1/1-1/2+1/2-1/3+...+1/n -1/(n+1)
=1-1/(n+1)
=n/(n+1)