已知f(x)是R上的奇函数,且f(x)的图像关于x=1对称,当x∈[0,1]时。f(x)=2^x-1 ⑴求证:f(x)是周期函数

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蓟素枝六莺
2020-04-27 · TA获得超过3.7万个赞
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(1)
依题意f(-x)=-f(x),f(1+x)=f(1-x),
∴f(2+x)=f[1-(1+x)]=f(-x)=-f(x),
∴f(4+x)=-f(2+x)=f(x),
∴f(x)是以4为周期的函数
(2)
f(x)=f(2-x)=2^x-1
令t=2-x,
x=2-t
∵x∈[0,1]
∴t∈[1,2]
∴f(t)=2^(2-t)-1,t∈[1,2]
即x∈[1,2],f(x)=2^(2-x)-1
(3)
f(0)=0
f(1)=1
f(2)=0
f(3)=f(-1)=-f(1)=-1
f(4)=f(0)=0
f(2013)=f(1+4*503)=f(1)=1
f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2013)
=f(0)+f(2013)+503*[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]
=1
陈秀荣随雨
2020-04-24 · TA获得超过3.6万个赞
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(1)奇函数故f(x)=-f(-x),又关于x=1对称故f(x)=f(2-x),故f(-(2-x))=-f(2-x)=-f(x),即f(x-2)=-f(x),故f(x-4)=-f(x-2)=f(x),即f(x)是以4为周期的周期函数。
(2)由f(x)=f(2-x),当x∈[0,1]时,2-x∈[1,2],故f(2-x)=2∧x-1=2∧(-(2-x)+2)-1,故当x∈[1,2]时.f(x)=2∧(-x+2)-1。
(3)f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-1.故和式=0*503+f(4*503+2)=1。
可借助正弦函数帮助理解。手机打字比较简略敬请谅解。
再看看别人怎么说的。
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