Question

设AB是过抛物线y^=2px焦点F的弦，AB为直径的圆为何与抛物线准线相切

Answer 1

一楼证明太复杂，其实不须过多计算。
过弦的两个端点向准线作垂线，这是可得到一个直角梯形。
根据抛物线的定义，得：弦的两个端点到焦点的距离等于梯形的上下底，
也就是梯形的斜腰（就是过焦点的弦）等于上下底的和，
由此可得，梯形的中位线等于弦长的一半，
所以，以弦为直径的圆与直角梯形的直边腰（也就是准线）相切。

Answer 2

取AB中点M
只要证明M到准线的距离等于MA=MB就可以了
作MN⊥准线
AP⊥准线
BQ⊥准线于N,P,Q
根据中位线定理有MN=1/2(AP+BQ)①
而MA=MB=1/2AB=1/2(FA+FB)
根据抛物线的定义，抛物线上的点到准线距离等于到焦点距离
那么FA=AP
FB=BQ
所以MA=MB=1/2(FA+FB)=1/2(AP+BQ)②
比较①②
得到MA=MB=MN
于是以M为圆心，AB为半径的圆必和准线相切