Question

若AB是过抛物线y^2=2px的焦点F的一条弦, 求证 1、 AB为直径的圆与抛物线相切。 2、A、B两点横坐标之积是定

Answer 1

题目需要修正：若AB是过抛物线y^2=2px的焦点F的一条弦, 求证 1、 AB为直径的圆与抛物线的准线相切. 2、A、B两点横坐标之积是定值.
解：
（1）过点A、点B分别作抛物线准线L的垂线，垂足分别为M、N，
设线段AB的中点为P,过P作L的垂线，垂足为Q.
则由抛物线的定义可知，AM=AF，BN=BF,
显然AM‖BN
则四边形ABNM为直角梯形，PQ为其中位线，
因此PQ=(AM+BN)/2
即PQ=(AF+BF)/2=AB/2=PA=PB
因此，以AB为直径的圆必过点Q，
又因为圆的半径PQ垂直于L，
所以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.
（请你自己去画图）
（2）由抛物线方程为y^2=2px，…………①
知抛物线焦点F坐标为（p/2,0），准线方程为x=-p/2.
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB所在直线的方程为
x=my+p/2，…………②
将②代入①得
y^2=2p(my+p/2)
y^2-2pmy-p^2=0
由一元二次方程根与系数的关系得
y1+y2=2pm …………③
(y1)(y2)=-p^2…………④
由于(x1)(x2)=(my1+p/2)(my2+p/2)=(m^2)(y1)(y2)+(mp/2)(y1+y2)+(p^2)/4
则(x1)(x2)=(m^2)(-p^2)+(mp/2)(2pm)+(p^2)/4
=-(mp)^2+(mp)^2+(p^2)/4
=(p^2)/4
即A、B两点横坐标之积是定值.
下次请把题目写完整，祝进步。