Question

定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函...

定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函数,给出下列关于f(x)的命题:①f(x)是周期函数; ②f(x)关于直线x=1对称; ③f(x)在[1,2]上单调递减; ④f(-12)>f(3), 其中正确命题的序号是______.(请填上所有正确命题的序号)

Answer 1

①由f(x+1)=-f(x),得f(x+2)=f(x),所以函数f(x)是周期函数,周期为2.所以①正确.
②因为f(x+2)=f(x),且函数为偶函数,所以f(x+2)=f(-x),即f(1+x)=f(1-x),所以f(x)关于直线x=1对称,所以②正确.
③因为函数f(x)是周期为2的函数且在[-1,0]上是增函数,所以f(x)在[1,2]上单调递增,所以③错误.
④因为f(3)=f(1)=f(-1),且f(x)在[-1,0]上是增函数,所以f(-
1
2
)>f(-1),即f(-
1
2
)>f(3)成立,所以④正确.
故答案为:①②④.