Question

已知函数f(x)=x-1+a/e ^x (a属于实数)(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴。求a的值(2)求f(x...

已知函数f(x)=x-1+a/e ^x (a属于实数)(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴。求a的值(2)求f(x)的极值(3)当a=1时。若直线l:y=kx-1与曲线y=f(x)没有公共点。求k的值

Answer 1

解:
f(x)=x-1+a/e^x
易知
①当a>0时
f'(x)=1+a(e^(-x))'=1-a(e^(-x))
令f‘(x)=0
则1-a(e^(-x))=0
x=lna
所以f(x)有极小值f(lna)=lna
②当a<0时
f'(x)=1-a(e^(-x))>0恒成立
所以此时无极值
③当a=0时
f'(x)=1>0恒成立
所以此时无极值

Answer 2

（1）由题意知，f（x）'=1-a/e^x，
f（1）'=1-a/e， f（1）=a/e，
切线方程为y-f（1）=f（1）'（x-1）
即y=（1-a/e）x+2a/e-1
切线与x轴平行，则1-a/e=0，
即a=e.
（2）令f（x）'=1-e^（1-x）=0，
则x=1，∴f（x）的极值为
f（1）=1.
（3）当a=1时，f（x）=x-1+1/e^x，
与直线y=kx-1没有公共点，即方程
x-1+1/e^x=kx-1无解.
令g（x）=（k-1）x-1/e^x，
g（0）=-1<0，
当k>1时，g（x）'=k-1+1/e^x>0，
即函数g（x）为增函数，必存在
g（x）=0.
当k<1时，函数有极值，必存在
g（x）=0.
当k=1时，g（x）=-1/e^x<0，
故k=1.