Question

什么是平均值不等式

Answer 1

均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式：公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。

、调和平均数：Hn=n/(1/a_1+1/a_2+⋯+1/a_n )

2、几何平均数：Gn=n√(a_1 a_2…a_n )

3、算术平均数：An=(a_1+a_2+⋯+a_n)/n

4、平方平均数：Qn=√((a_1^2+a_2^2+⋯+a_n^2)/n)

5、均值定理： 如果

属于正实数那么且仅当时 等号成立。

这四种平均数满足Hn≤Gn≤An≤Qn

a1、a2、… 、an∈R +，当且仅当a1=a2= … =an时取“=”号

均值不等式的一般形式：设函数D(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r）（当r不等于0时）；

（a1a2...an)^(1/n）（当r=0时）（即D(0)=(a1a2...an)^(1/n））

则 [1]当注意到Hn≤Gn≤An≤Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1）≤D(0）≤D⑴≤D⑵

由以上简化，有一个简单结论，中学常用2/(1/a+1/b）≤√ab≤（a+b)/2≤√[(a^2+b^2)/2]

均值定理的证明：因为 a 〉0 ， b 〉0 所以 a+b/2 - √ab = a+b-2√ab/2 = (√a-√b)^2/2 ≥ 0

即 a+b/2≥√ab. 当且仅当√a= √b ,等号成立。