Question

求函数z=xy在x^2+y^2=1上的最大值和最小值

是x^2+y^2<=1

Answer 1

解由x^2+y^2≤1
设x=ksina，y=kcosa
故k^2sin^2a+k^2cos^2a≤1
即k^2≤1
即-1≤k≤1
则z=xy=ksinakcosa=k^21/2×2sinacosa
=1/2k^2sin2a
由-1≤sin2a≤1
即-1/2≤1/2sin2a≤1/2
又由k^2≤1
即-1/2k^2≤1/2k^2sin2a≤1/2k^2
即-1/2≤1/2k^2sin2a≤1/2
故-1/2≤z≤1/2
故函数z=xy在x^2+y^2=1上的最大值1/2和最小值-1/2.

Answer 2

第一步，找|x|+|y|<1区域内的奇点
令əz/əx=0，əz/əy=0，解得一奇点(0,0)
第二步，找四条边界上（不包括四个顶点）的极值点
构造拉格朗日函数，以x+y=1，0
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