Question

数学三角恒等变形的方法

说具体点举典型例子，说出什么样的题目对应什么样的公式

Answer 1

普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]
高三新数学第一轮复习教案（讲座24）—三角恒等变形及应用
一．课标要求：
1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；
2．能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；
3．能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）。
二．命题走向
从近几年的高考考察的方向来看，这部分的高考题以选择、解答题出现的机会较多，有时候也以填空题的形式出现，它们经常与三角函数的性质、解三角形及向量联合考察，主要题型有三角函数求值，通过三角式的变换研究三角函数的性质。
本讲内容是高考复习的重点之一，三角函数的化简、求值及三角恒等式的证明是三角变换的基本问题。历年高考中，在考察三角公式的掌握和运用的同时，还注重考察思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算及观察能力、运算推理能力和综合分析能力。
三．要点精讲
1．两角和与差的三角函数

；

；

。
2．二倍角公式

；

；

。
3．三角函数式的化简
常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。
（1）降幂公式

；
；
。
（2）辅助角公式

，

。
4．三角函数的求值类型有三类
（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；
（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如
等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；
（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。
5．三角等式的证明
（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；
（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。
四．典例解析
题型1：两角和与差的三角函数
例1．已知
，求cos
。
分析：因为
既可看成是
看作是
的倍角，因而可得到下面的两种解法。
解法一：由已知sin
+sin
=1…………①，
cos
+cos
=0…………②，
①2＋②2得 2+2cos

；
∴ cos

。
①2－②2得 cos2
+cos2
+2cos（
）=－1，
即2cos（
）〔
〕=－1。
∴
。
解法二：由①得
…………③
由②得
…………④
④