三角函数应用中考数学题
解直角三角形(三角函数应用)
1、(绵阳市2013年)如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点，且俯角α为60º，又从A点测得D点的俯角β为30º，若旗杆底点G为BC的中点，则矮建筑物的高CD为( A )
A.20米 B. 米 C. 米 D. 米
[解析]GE//AB//CD，BC=2GC，GE=15米，AB=2GE=30米，AF=BC=AB•cot∠ACB=30×cot60º=103 米，DF=AF•tan30º=103 ×33 =10米，
CD=AB-DF=30-10=20米。
2、(2013杭州)在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边上的高等于( )
A. B. C. D.
考点：解直角三角形.
专题：计算题.
分析：在直角三角形ABC中，由AB与sinA的值，求出BC的长，根据勾股定理求出AC的长，根据面积法求出CD的长，即为斜边上的高.
解答：解：根据题意画出图形，如图所示，
在Rt△ABC中，AB=4，sinA=，
∴BC=ABsinA=2.4，
根据勾股定理得：AC= =3.2，
∵S△ABC=AC•BC=AB•CD，
∴CD= = .
故选B
点评：此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，以及三角形的面积求法，熟练掌握定理及法则是解本题的关键.
3、(2013•绥化)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB=8，∠ABD=30°，∠CAD=45°，求BC的长.
考点： 解直角三角形.
分析： 首先解Rt△ABD，求出AD、BD的长度，再解Rt△ADC，求出DC的长度，然后由BC=BD+DC即可求解.
解答： 解：∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt△ABD中，∵AB=8，∠ABD=30°，
∴AD= AB=4，BD= AD=4 .
在Rt△ADC中，∵∠CAD=45°，∠ADC=90°，
∴DC=AD=4，
∴BC=BD+DC=4 +4.
点评： 本题考查了解直角三角形的知识，属于基础题，解答本题的关键是在直角三角形中利用解直角三角形的知识求出BD、DC的长度.
4、(2013•鄂州)著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家.他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽(滑槽宽度忽略不计)，一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来.若AB=20cm，则画出的圆的半径为 10 cm.
考点： 直角三角形斜边上的中线.
分析： 连接OP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OP的长，画出的圆的半径就是OP长.
解答： 解：连接OP，
∵△AOB是直角三角形，P为斜边AB的中点，
∴OP= AB，
∵AB=20cm，
∴OP=10cm，
故答案为：10.
点评： 此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
5、(2013安顺)在Rt△ABC中，∠C=90°， ，BC=8，则△ABC的面积为 .
考点：解直角三角形.
专题：计算题.
分析：根据tanA的值及BC的长度可求出AC的长度，然后利用三角形的面积公式进行计算即可.
解答：解：∵tanA= =，
∴AC=6，
∴△ABC的面积为×6×8=24.
故答案为：24.
点评：本题考查解直角三角形的知识，比较简单，关键是掌握在直角三角形中正切的表示形式，从而得出三角形的两条直角边，进而得出三角形的面积.
6、(11-4解直角三角形的实际应用•2013东营中考)某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB的高度为 米.
15. 9.解析：过B作BE⊥CD于点E，设旗杆AB的高度为x，在 中， ，所以 ，在 中， ， ， ，所以 ，因为CE=AB=x，所以 ，所以x=9，故旗杆的高度为9米.
7、(2013•常德)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB= ，AD=1.
(1)求BC的长;
(2)求tan∠DAE的值.
考点： 解直角三角形.
分析： (1)先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADC，得出DC=1;解Rt△ADB，得出AB=3，根据勾股定理求出BD=2 ，然后根据BC=BD+DC即可求解;
(2)先由三角形的中线的定义求出CE的值，则DE=CE﹣CD，然后在Rt△ADE中根据正切函数的定义即可求解.
解答： 解：(1)在△ABC中，∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°.
在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1，
∴DC=AD=1.
在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB= ，AD=1，
∴AB= =3，
∴BD= =2 ，
∴BC=BD+DC=2 +1;
(2)∵AE是BC边上的中线，
∴CE= BC= + ，
∴DE=CE﹣CD= ﹣ ，
∴tan∠DAE= = ﹣ .
点评： 本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形，难度中等，分别解Rt△ADC与Rt△ADB，得出DC=1，AB=3是解题的关键.
8、(13年山东青岛、20)如图，马路的`两边CF、DE互相平行，线段CD为人行横道，马路两侧的A、B两点分别表示车站和超市。CD与AB所在直线互相平行，且都与马路两边垂直，马路宽20米，A，B相距62米，∠A=67°，∠B=37°
(1)求CD与AB之间的距离;
(2)某人从车站A出发，沿折线A→D→C→B去超市B，求他沿折线A→D→C→B到达超市比直接横穿马路多走多少米
(参考数据： ， ， ，
9、(2013•益阳)如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，小张在小道上测得如下数据：AB=80.0米，∠PAB=38.5°，∠PBA=26.5.请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置.(以A，B为参照点，结果精确到0.1米)
(参考数据：sin38.5°=0.62，cos38.5°=0.78，tan38.5°=0.80，sin26.5°=0.45，cos26.5°=0.89，tan26.5°=0.50)
考点： 解直角三角形的应用.
专题： 应用题.
分析： 设PD=x米，在Rt△PAD中表示出AD，在Rt△PDB中表示出BD，再由AB=80.0米，可得出方程，解出即可得出PD的长度，继而也可确定小桥在小道上的位置.
解答： 解：设PD=x米，
∵PD⊥AB，
∴∠ADP=∠BDP=90°，
在Rt△PAD中，tan∠PAD= ，
∴AD= ≈ =x，
在Rt△PBD中，tan∠PBD= ，
∴DB= ≈ =2x，
又∵AB=80.0米，
∴x+2x=80.0，
解得：x≈24.6，即PD≈24.6米，
∴DB=2x=49.2.
答：小桥PD的长度约为24.6米，位于AB之间距B点约49.2米.
点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数表示出相关线段的长度，难度一般.
10、(2013•娄底)2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象.已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度.(精确到0.1米，参考数据： )
考点： 解直角三角形的应用.
分析： 过点C作CD⊥AB于点D，设CD=x，在Rt△ACD中表示出AD，在Rt△BCD中表示出BD，再由AB=4米，即可得出关于x的方程，解出即可.
解答： 解：过点C作CD⊥AB于点D，
设CD=x，
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，
则AD= CD= x，
在Rt△BCD中，∠CBD=45°，
则BD=CD=x，
由题意得， x﹣x=4，
解得：x= =2( +1)≈5.5.
答：生命所在点C的深度为5.5米.
点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数知识表示出相关线段的长度，注意方程思想的运用.
11、(2013•包头)如图，一根长6 米的木棒(AB)，斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，与地面的倾斜角(∠ABO)为60°.当木棒A端沿墙下滑至点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′.
(1)求OB的长;
(2)当AA′=1米时，求BB′的长.
考点： 勾股定理的应用;解直角三角形的应用.
分析： (1)由已知数据解直角三角形AOB即可;
(2)首先求出OA的长和OA′的长，再根据勾股定理求出OB′的长即可.
解答： 解：(1)根据题意可知：AB=6 ，∠ABO=60°，∠AOB=90°，
在Rt△AOB中，∵cos∠ABO= ，
∴OB=ABcos∠ABO=6 cos60°=3 米，
∴OB的长为3 米;
(2)根据题意可知A′B′=AB=6 米，
在Rt△AOB中，∵sin∠ABO= ，
∴OA=ABsin∠ABO=6 sin60°=9米，
∵OA′=OA﹣AA′，AA′=1米，
∴OA′=8米，
在Rt△A′OB′中，OB′=2 米，
∴BB′=OB′﹣OB=(2 ﹣3 )米.
点评： 本题考查了勾股定理的应用和特殊角的锐角三角函数，是中考常见题型.
