Question

设P(x)=ax^3+bx^2+cx+d,其中a、b、c、d皆为常数。若以x^2+x+2除之，余式

设P(x)=ax^3+bx^2+cx+d,其中a、b、c、d皆为常数。若以x^2+x+2除之，余式为x+2；以x^2+x-2除之，余式为3x+4，求以x+1除之的余数

Answer 1

（1）解：
∵f（8）=2009
即 a*8^3+b*8^2+c*8+d=2009
等式两边同除以8：
a*8^2+b*8^(1)+c*8^(0)+d*8^(-1)=251+1*8^(-1)
∵a,b,c,d为整数，且0<=a,b,c,d<8
∴ d*8^(-1)<1 为左式除以8得到的余数，应当与右式除以8的余数相等。
∴ d=1
则 a*8^2+b*8^(1)+c*8^(0)=251
继续除以8得：
a*8^1+b*8^（0）+c*8^（-1）=31+3*8^（-1）
同理：c=3
a*8^1+b*8^（0）=31
继续除以8得：
a+b*8^（-1）=3+7*8^（-1）
b=7
a=3
即（a,b,c,d)为（3,7,3,1）
(实际上连续用8去除2009得商和余数，可得：2009由多少个8^3、 8^2、 8组成，即把2009表示为：=3*8^3+7*8^2+3*8+1)
(2)解：
列竖式，用x^5+x^4+x^3+px^2+qx+2除以x^2+x+2得：
(x^5+x^4+x^3+px^2+qx+2)/(x^2+x+2)=x^3-x+1余px^2+(q+1)x
∵多项式x^2+x+2能整除x^5+x^4+x^3+px^2+qx+2
∴ p=0，q+1=0
则（p，q）=（0，-1）