Question

已知实数xy满足(x-2)²+(y-2)²=1 求y/x的最值 求（y+x)的最值

请看好。有两题。要解答过程

Answer 1

解：
用数形结合的方法来做。
(x-2)²+(y-2)²=1可以看做是以(2,2)为圆心，1为半径的一个圆。
y/x可以看做是这个圆上一点到原点连线的斜率。
要求y/x的最值，就是求斜率的最值，应当在相切的时候取得。

设直线方程为y=kx,联立
(x-2)²+(kx-2)²=1
(1+k²)x²-4(1+k)x+7=0
相切时，只有一个公共点，故只有一个根，判别式等于0
即△=16(1+k)²-28(1+k²)
=-12k²+32k-12=0
3k²-8k+3=0
k=(8±√28)/6=(4±√7)/3
所以y/x=k的最大值是(4+√7)/3 ，最小值是(4-√7)/3

设y+x=a最值同样是在直线y+x=a与圆相切时取得。
y=a-x
(x-2)²+(a-x-2)²=1
2x²-2ax+4+(a-2)²=1
2x²-2ax+a²-4a+7=0
△=4a²-8(a²-4a+7)
=-4a²+32a-56
=-4(a²-8a+14)=0
a=(8±√8)/2=4±√2
故最大值为y+x=4+√2,最小值为4-√2

Answer 2

解：设y/x=k(k为常数)①
(x-2)^2+(y-2)^2=1②可看作为圆心坐标为(2,2),半径为1的圆
y/x的最值即为圆上的点与原点所在直线的斜率，此时直线与圆相切
由①②，得
(x-2)^2+(kx-2)^2=1
整理，有
(k^2+1)x^2-4(1+k)x+7=0
又 △=0
∴ [-4(1+k)]^2-4*(k^2+1)*7=0
即 3k^2-8k+3=0
解，得
k=(4±√7)/3
因此，y/x的最大值为(4+√7)/3,最小值为(4-√7)/3

同上,可设m=y+x,则当直线y=-x+m与圆相切时有最值.
相切时有圆心到直线的距离等于半径,则有:|2+2-m|/根号(1+1)=1
即有|m-4|=根号2
即有m=4+根号2或4-根号2
即x+y的最大值是4+根号2,最小值是4-根号2.

Answer 3

方法是利用三角函数 令X=2+cosθ   y=2+sinθ