一个高等数学的数列极限问题
1,证明方程x+…+x^n=1在区间(1/2,1)内有且仅有一个实根。2,记其实根为Xn,证明n趋于无穷大时Xn的极限存在,并求此极限...
1,证明方程x+…+x^n=1在区间(1/2,1)内有且仅有一个实根。2,记其实根为Xn,证明n趋于无穷大时Xn的极限存在,并求此极限
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1. 证:设f(x)=x+x^2+x^3+…+x^n。
因为在(0,+∞)区间,f'(x)=1+2x+3x^2+…+nx^(n-1)>0,
所以在(0,+∞)区间,f(x)单调递增。
因为当x∈(0,1/2]时f(x)<1,当x∈[1,+∞)时,f(x)>1,
所以有且仅有一个正实数x满足f(x)=1,而此正实数x∈(1/2,1)。即原方程在(1/2,1)区间内有且仅有一个实根。
2.上面已经证明,当n为任意给定的不小于2的自然数时,x+x^2+x^3+…+x^n=1有且仅有一个正实根xn,且xn∈(0,1)。
而当xn∈(0,1)时,lim(xn+xn^2+xn^3+…+xn^n)(n→∞)=xn/(1-xn)。
由x+x^2+x^3+…+x^n=1得lim(xn+xn^2+xn^3+…+xn^n)(n→∞)=1,即xn/(1-xn)=1,
从而xn=1/2,即limxn(n→∞)=1/2。
因为在(0,+∞)区间,f'(x)=1+2x+3x^2+…+nx^(n-1)>0,
所以在(0,+∞)区间,f(x)单调递增。
因为当x∈(0,1/2]时f(x)<1,当x∈[1,+∞)时,f(x)>1,
所以有且仅有一个正实数x满足f(x)=1,而此正实数x∈(1/2,1)。即原方程在(1/2,1)区间内有且仅有一个实根。
2.上面已经证明,当n为任意给定的不小于2的自然数时,x+x^2+x^3+…+x^n=1有且仅有一个正实根xn,且xn∈(0,1)。
而当xn∈(0,1)时,lim(xn+xn^2+xn^3+…+xn^n)(n→∞)=xn/(1-xn)。
由x+x^2+x^3+…+x^n=1得lim(xn+xn^2+xn^3+…+xn^n)(n→∞)=1,即xn/(1-xn)=1,
从而xn=1/2,即limxn(n→∞)=1/2。
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