Question

一个高等数学的数列极限问题

1,证明方程x+…+x^n=1在区间(1/2,1)内有且仅有一个实根。2,记其实根为Xn，证明n趋于无穷大时Xn的极限存在，并求此极限

Answer 1

这是 2012年考研数学真题(数学二)   第21大题

Answer 2

1. 证：设f（x）＝x＋x^2＋x^3＋…＋x^n。
因为在（0，＋∞）区间，f＇（x）＝1＋2x＋3x^2＋…＋nx^(n－1)＞0，
所以在（0，＋∞）区间，f（x）单调递增。
因为当x∈（0，1／2］时f（x）＜1，当x∈［1，＋∞）时，f（x）＞1，
所以有且仅有一个正实数x满足f（x）＝1，而此正实数x∈（1／2，1）。即原方程在（1／2，1）区间内有且仅有一个实根。
2.上面已经证明，当n为任意给定的不小于2的自然数时，x＋x^2＋x^3＋…＋x^n＝1有且仅有一个正实根xn，且xn∈（0，1）。
而当xn∈（0，1）时，lim(xn＋xn^2＋xn^3＋…＋xn^n)(n→∞)＝xn／(1－xn)。
由x＋x^2＋x^3＋…＋x^n＝1得lim(xn＋xn^2＋xn^3＋…＋xn^n)(n→∞)＝1，即xn／(1－xn)＝1，
从而xn＝1／2，即limxn(n→∞)＝1／2。

Answer 3

(1)

(2)