如图：△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP．（1）求证：PA平分∠BAC的外角∠
根据三角形的性质得：
（1）证明：过点P分别作PE⊥BM、PF⊥BN，PG⊥AC于点E、F、G，
∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，
∴PE=PF，PF=PG，
∴PE=PG，
∴PA平分∠BAC的外角∠CAM；
（2）证明：∵由（1）知PA平分∠BAC的外角∠CAM，
∴∠DAE=∠CAE．
∵CE⊥AP，
∴∠AED=∠AEC=90°．
在△ADE与△ACE中，
∵∠DAE＝∠CAEAE＝AE∠AED＝∠AEC ，
∴△ADE≌△ACE
∴CE=DE；
（3）当∠DAE=∠ABC时，AP∥BC．
故添加的条件可以为：∠DAE=∠ABC．
扩展资料：
性质
1 、在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。
2 、在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)。
3、 在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。
推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4、 一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。
5、 在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。
6 、三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
7、 在一个直角三角形中，若一个角等于30度，则30度角所对的直角边是斜边的一半。
8、直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。
*勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c² ，那么这个三角形是直角三角形。
9、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
10、三角形的三条角平分线交于一点，三条高线的所在直线交于一点，三条中线交于一点。
11、三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。
12、 等底同高的三角形面积相等。
1、3 底相等的三角形的面积之比等于其高之比，高相等的三角形的面积之比等于其底之比。
14、三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。
参考资料：百度百科——三角形
