Question

高一数学一道求值域的题目求详细解答。。。。急求、。。

求详细解答过程。。。最好每一步都能说出理由。。。万分感谢！

Answer 1

f(x)= - x²+2x的对称轴为；
x=1,
(1)
当1<a，即a>1时，
f(x)在[a,a+1]上单调增，
f(max)=f(a+1)=1-a²
f(min)=f(a)= -a²+2a
值域为：[ -a²+2a,1-a²]
(2)
当a≤1<a+1/2时，即1/2<a≤1时，函数的对称轴在区间左半部，
f(x)在[a,a+1/2]上的单调性是先减后增，且减区间短，增区间长，所以，
f(max)=f(a+1)=1-a²
f(min)=f(1)=1
值域为：[1, 1-a²]
(3)
当a+1/2≤1＜a+1时，即 0<a≤1/2时，函数的对称轴在区间的右半部，
f(x)在[a,a+1/2]上的单调性是先减后增，且减区间长，增区间短，所以，
f(max)=f(a)= -a²+2a
f(min)=f(1)=1
值域为：[1, -a²+2a]
(4)
当a+1≤1,即a≤0时 ，函数的对称轴在区间右边，
f(x)在区间[a,a+1]上单调减，
f(max)=f(a)= -a²+2a
f(min)=f(a+1)=1-a²
值域为：[1-a² ,-a²+2a]

追问

其实我不明白后面得1/2是哪里来的。。
我之前做题。。作出两种情况
后面第三种情况分类讨论 里面 不会做 。
就是那个1/2 那步的
我不明白1/2。。。

追答

区间的左端点是a,右端点是：a+1,
中点就是：(a+a+1)/2=a+(1/2)
其实也就是中点公式

对不起了张口反了；以下才是正解！
===============================================================
f(x)= - x²+2x的对称轴为；
x=1,
(1)
当11时，
f(x)在[a,a+1]上单调减，
f(min)=f(a+1)=1-a²
f(max)=f(a)= -a²+2a
值域为：[1-a², -a²+2a,]
(2)
当a≤1<a+1/2时，即1/2<a≤1时，函数的对称轴在区间左半部，
f(x)在[a,a+1/2]上的单调性是先增后减，且减区间长，增区间短，所以，
f(min)=f(a)= -a²+2a
f(max)=f(1)=1
值域为：[-a²+2a,1]
(3)
当a+1/2≤1＜a+1时，即 0<a≤1/2时，函数的对称轴在区间的右半部，
f(x)在[a,a+1/2]上的单调性是先增后减，且减区间短，增区间长，所以，
f(min)=f(a)= -a²+2a
f(max)=f(1)=1
值域为：[ -a²+2a,1]
(4)
当a+1≤1,即a≤0时 ，函数的对称轴在区间右边，
f(x)在区间[a,a+1]上单调增，
f(min)=f(a)= -a²+2a
f(max)=f(a+1)=1-a²
值域为：[-a²+2a,1-a² ]

Answer 2

f(x)= -x²+2x= -(x-1)²+1，x∈[a，a+1]。对称轴为x=1。
(1)若a≥1，则f(x)在[a，a+1]上单调递减，所以f(x)min=f(a+1)= -a²+1，f(x)max=f(a)= -a²+2a，从而值域为[-a²+1，-a²+2a]。
(2)若a+1≤1，即a≤0，则f(x)在[a，a+1]上单调递增，所以f(x)max=f(a+1)= -a²+1，f(x)min=f(a)= -a²+2a，从而值域为[-a²+2a，-a²+1]。
(3)若a<1≤a+1/2，即1/2≤a<1，则f(x)在[a，1]上单调递增，在[1，a+1]上单调递减，所以f(x)max=f(1)=1，f(x)min=f(a+1)= -a²+1，从而值域为[-a²+1，1]。
(4)若a+1/2<1<a+1，即0<a<1/2，则f(x)在[a，1]上单调递增，在[1，a+1]上单调递减，所以f(x)max=f(1)=1，f(x)min=f(a)= -a²+2a，从而值域为[-a²+2a，1]。

Answer 3

因为a，a+1不知数值，且由题可得：﹛x|R﹜

追问

能详细解答一下吗。分几种情况。。为什么 这么分。。

追答

。。。据我所知，值域是求x的取值范围，只要F(x)给出的x不在分母内，也没有奇数根号，就可以成为任何常数（即R），所以﹛x|R﹜，a和a+1没有特别的要求，a也可以是常数，所以可以忽略了