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如图,BE、CF是三角形ABC的高,P是BE上一点,且BP=AC,CQ=AB,求证:AP⊥AQ。
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∵BE、CF是三角形ABC的高
∴BE⊥AC,CF⊥AB
∴∠ABP+∠BAC=∠ACQ+∠BAC=90°
∴∠ABP=∠ACQ
在△AQC和△PAB中
AC=BP
∠ABP=∠ACQ
CQ=AB
∴△AQC≌△PAB
∴∠BAP=∠CQA
∵∠CQA+∠BAQ=90°
∴∠BAP+∠BAQ=90°
∴AP⊥AQ
∴BE⊥AC,CF⊥AB
∴∠ABP+∠BAC=∠ACQ+∠BAC=90°
∴∠ABP=∠ACQ
在△AQC和△PAB中
AC=BP
∠ABP=∠ACQ
CQ=AB
∴△AQC≌△PAB
∴∠BAP=∠CQA
∵∠CQA+∠BAQ=90°
∴∠BAP+∠BAQ=90°
∴AP⊥AQ
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