Question

如图，已知P是△ABC内任意一点

如图，已知P是△ABC内任意一点，求证1\2（a+b+c）＜PA+PB+PC小于a+b+c。

Answer 1

（1）由三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）知

在⊿PAB中，PA+PB>AB

在⊿PBC中，PB+PC>BC

在⊿PCA中，PC+PA>CA

上式相加得PA+PB+PC>1/2(AB+BC+CA)

即PA+PB+PC>1/2(a+b+c)

 

（2）分别延长AP、BP、CP交对边于D、E、F

由三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）知

在⊿ABE中，AB+AE>BE

    注意到BE=PB+PE

    则AB+AE>PB+PE（I）

在⊿PCE中，CE+PE>PC（II）

由（I）+（II）有AB+AE+CE+PE>PB+PE+PC

即AB+AE+CE>PB+PC

注意到AE+CE=CA

所以AB+CA>PB+PC（*）

同理可得

AB+BC>PA+PC（**）

CA+BC>PA+PB（***）

由（*）+（**）+（***）得PA+PB+PC<AB+BC+CA

即PA+PB+PC<a+b+c

Answer 2

PA+PB>c PB+PC>a PC+PA>b
相加得2(PA+PB+PC)>a+b+c
1\2（a+b+c）＜PA+PB+PC
左边得证
PA+PB<a+b
PA+PC<a+c
PB+PC<b+c
相加得2（PA+PB+PC)<2(a+b+c)
即PA+PB+PC<a+b+c
右边得证

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