Question

过点S引三条长度相等但不共面的线段SA.SB.SC,且角ASB等于角ASC等于60度，角BSC等于90度。

求证；平面ABC垂直平面SBC

Answer 1

取BC的中点为D。
∵SB＝SC、D∈BC且BD＝CD，∴BC⊥SD。
∵SA＝SB＝SC、∠ASB＝∠ASC＝60°，∴△SAB、△SAC都是等边三角形，∴AB＝AC＝a，
又D∈BC且BD＝CD，∴AD⊥BC。

∵SB＝SC＝a、∠BSC＝90°，∴BC＝√2a，又BD＝CD，∴SD＝BD＝（√2/2）a，
∴AD^2＝AB^2－BD^2＝a^2－（1/2）a^2＝（1/2）a^2，
∴SA^2＝SD^2＋AD^2，∴AD⊥SD。

∵AD⊥BC、AD⊥SD、SD∩BC＝D，∴AD⊥平面BSC，而AD在平面ABC上，
∴平面ABC⊥平面BSC。

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Answer 2

取BC中点D，连接AD，SD。
设SA=SB=SC=a，则AC=AB=a，BC=√2a；
三角形ABC中，AD垂直平分BC，AD=√2a/2；
三角形SBC中，SD垂直平分BC，SD=√2a/2；
则在三角形SAD中，角ADS=90°；
因为有AD⊥BC，AD⊥SD，BC与SD相交于D，
则有AD垂直于面SBC；
因为AD属于面ABC，则面ABC垂直面SBC

Answer 3

设SA=SB=SC=a，
则由题意可得AB=AC=a，BC=a，
取BC中点O，连接OA、OS，
利用勾股定理可以得到AO⊥BC，AO⊥SO，
所以AO⊥平面SBC，所以平面ABC⊥平面SBC