Question

已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1,0），B（3,0），C（0,3）三点，直线l是抛物线的对称轴

(1)求抛物线的函数解析式
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由

Answer 1

解：∵抛物线y=ax^2+bx+c经过A、B、C三点，
则有：a-b+c=0 ①
9a+3b+c=0 ②
c=3 ③
联立①②③形成方程组并解之得：
a=-1，b=2，c=3
∴抛物线的解析式为：y=-x^2+2x+3
=-（x-1)^2+4
∴直线l为：x=1
设P点纵坐标为n，则P点坐标为（1，n)；
又IACI=√[（-1）^2+3^2]
=√10
IAPI=√[(-1-1)^2+n^2]
=√(n^2+4)
ICPI=√[1^2+(n-3)^2]
=√[(n-3)^2+1]
∴△PAC的周长L=IAPI+ICPI+IACI
=√(n^2+4)+√[(n-3)^2+1]+√10
当△PAC的周长最小时，n=1
∴P点坐标为（1,1）
设直线l上存在一点M，使△MAC为等腰三角形的M点的纵坐标m；
则M点的坐标为（1，m）；
∴IACI=√10
IAMI=√(m^2+4)
ICMI=√[(m-3）^2+1]
∴①当IACI=IAMI时，△MAC是等腰三角形，即：√10=√（m^2+4)
解之得：m=±√6
∴M点坐标为（1，-√6），（1，√6）
②同理，当IACI=ICPI时，△MAC也是等腰三角形，即：
√10=√[(m-3)^2+1]

解之得：m=0，m=6
∴M点的坐标为（1，0），（1,6）
③同理，当IMAI=IMCI时，△MAC也是等腰三角形，即：
√(n^2+4)=√[(m-3)^2+1]

解之得：m=1
∴M点的坐标为(1，1）
综上所述，在直线l上存在点M，使△MAC为等腰三角形的M点坐标有：
（1，-√6），（1，,6），（1，0），（1,6），（1,1）