Question

设数列｛Xn｝收敛，证明｛Xn｝中必有最大项或最小项

Answer 1

用反证法。如果数列{Xn}没有最大项，也没有最小项，设M=sup{Xn}为数列的上确界，因为没有最大项，所以不存在Xk = M，由上确界的定义，存在{Xn}的子列{Xn'}，Xn' -> M。同理，设m=inf{Xn}为下确界，因为没有最小值，所以存在子列{Xn''}，Xn''->m。
但是{Xn}是收敛的，任意的子列收敛到同一极限，于是M=m，这说明Xn为常数，这种情况下数列中有最大项与最小项，矛盾